Ο Αλέξανδρος Σβώλος γεννήθηκε το 1892 στο Κρούσοβο (Kruševo) ή στην περιοχή Μοριχόβου της Βορειοδυτικής Μακεδονίας (σημερινή ΠΓΔΜ). Οι γονείς του, Ιωάννης και Θάλεια, ήταν βλάχικης καταγωγής.
Σπούδασε νομικά στην Κωνσταντινούπολη (1911–1912) και κατόπιν στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, όπου είχε για δάσκαλο τον διαπρεπή έλληνα συνταγματολόγο Νικόλαο Σαρίπολο. Το 1915, ανακηρύχθηκε διδάκτορας του Πανεπιστημίου Αθηνών με τη διατριβή Το δικαίωμα τού συνεταιρίζεσθαι και το δίκαιον των σωματείων.
Κατά την περίοδο 1917–1920, διετέλεσε διευθυντής στο υπουργείο Εθνικής Οικονομίας, στην Διεύθυνση Εργασίας και Κοινωνικής Πολιτικής. Από την θέση αυτή, συνέταξε τον νόμο 2112/1920 «περί καταγγελίας συμβάσεως εργασίας», φρόντισε ώστε να κυρωθούν διά νόμου οι Διεθνείς Συμβάσεις Εργασίας της Ουάσιγκτον και οργάνωσε τις υπηρεσίες του Υπουργείου και της Επιθεώρησης Εργασίας.
Κατά τα έτη 1921–1922, εργάσθηκε ως γενικός διευθυντής στην Προύσα της Μικράς Ασίας και, κατά παραγγελία του Ύπατου Αρμοστή Σμύρνης συνέταξε το Σύνταγμα της Ιωνικής Πολιτείας.
Το 1929, διαδέχθηκε τον Ν. Ν. Σαρίπολο στην έδρα του Συνταγματικού Δικαίου στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Στην έδρα αυτή παρέμεινε μέχρι το 1946, οπότε και αποπέμφθηκε οριστικά κατηγορούμενος ως «ελληνόφων καθηγητής και αποστάτης της εθνικής ιδέας». Εξαιτίας των αριστερών πεποιθήσεών του, είχε ήδη παυθεί από την έδρα του Συνταγματικού Δικαίου άλλες τρεις φορές: το 1935, το 1936 και το 1944. Για τους ίδιους λόγους, ο Μεταξάς τον εξόρισε στην Ανάφη, Μήλο, Νάξο και Χαλκίδα καθ' όλη την περίοδο 1936–1940.
Κατά την περίοδο 1941–1943, διατέλεσε πρόεδρος της Επιτροπής Μακεδόνων και Θρακών και συνέταξε υπομνήματα προς τις γερμανικές Αρχές Κατοχής καταγγέλλοντας τις ωμότητες των Βουλγάρων κατά των πληθυσμών των δύο αυτών περιοχών,.
Τον Απρίλιο του 1944, ύστερα από πολλούς δισταγμούς, δέχθηκε να γίνει πρόεδρος της Πολιτικής Επιτροπής Εθνικής Απελευθέρωσης (ΠΕΕΑ). Με την ιδιότητα αυτή, αμέσως μετά, ο Σβώλος έλαβε μέρος στο Συνέδριο του Λιβάνου για την ανασυγκρότηση της ελληνικής κυβέρνησης στο Κάιρο και την μετατροπή της σε Κυβέρνηση Εθνικής Ενότητας υπό τον Γεώργιο Παπανδρέου, στην οποία θα συμμετείχαν και εκπρόσωποι της ΠΕΕΑ. Στις 6 Σεπτεμβρίου 1944, ο Σβώλος ανέλαβε υπουργός Οικονομικών της κυβέρνησης Παπανδρέου. Όμως τα μέτρα τα οποία έλαβε για να ανορθώσει την ελληνική οικονομία έδωσαν λαβή σε έντονη αμφισβήτηση και κριτική εναντίον του. Τελικά παραιτήθηκε από υπουργός, μαζί με όλους τους υπουργούς του ΕΑΜ, αρνούμενος να συνυπογράψει την διάλυση του ΕΛΑΣ, όπως απαιτούσε ο Γεώργιος Παπανδρέου. Λίγο καιρό αργότερα, αποπέμφθηκε και από το Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Από το 1945 έως το 1953 διατέλεσε πρόεδρος του ΣΚ-ΕΛΔ και, μετά την συγχώνευση του κόμματος αυτού με το Δημοκρατικό Κόμμα, διετέλεσε πρόεδρος του ενιαίου Δημοκρατικού Κόμματος του Εργαζομένου Λαού (1953–1956).
Το 1950 εκλέχθηκε βουλευτής Θεσσαλονίκης, όπως επίσης συνέβη και στις εκλογές του 1956. Ωστόσο, πέθανε μόλις τρεις ημέρες μετά την δεύτερη εκλογή του.